任意の三角形の垂線とその足による内分点の性質

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眠る亀と申します。今回は、任意の三角形の1点から下ろした垂線の足による1辺の内分比に関する質問がありました。興味深い題材でしたので、この質問にお答えしようと思います。今回は、ブログ内でLATEXを使うためのプラグインを導入しましたので、それも試したいと思います。

質問

任意の△ABCにおいて、三辺AB BC CAの長さをそれぞれc a bとする。

いま点Aから対辺BCに下ろした垂線の足をHとするとき、Hが辺BCの如何なる内分点になるか答えなさい。すなわち、BH:HCをa b cで記述しなさい。
さらに は同様な考察を直角三角形と鈍角三角形でも行いなさい。

という問題があります。

鋭角三角形の場合は

√(c²−h²):√(b²−h²)
が最善の答えなのでしょうか…?
また、直角三角形の場合はBHもしくはHCのどちらかが0、鈍角三角形の場合は垂線の足が三角形の外側にできる、で合ってるのでしょうか?

回答

高校数学での解法

任意の三角形で、かつどの角が直角・鈍角かで求め方が変わるので、かなり計算のパターンがあります。一つ一つ丁寧に解いていこうと思います。

(1)鋭角三角形の場合

鋭角三角形の場合は、どの角も鋭角のため、ここでは場合わけをする必要がありません。記号を次のように定義します。

$$\mathrm{BH}:\mathrm{CH} = c\cos{\theta_{1}} : b\cos{\theta_{2}}$$

cosθは余弦定理よりa, b, cを用いて次のように求めることができる。

$$\cos{\theta_{1}} = \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$$

$$\cos{\theta_{2}} = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$$

よって、BH:CHはa, b, cを用いて次のように表せる。

$$\mathrm{BH}:\mathrm{CH} = a^{2}+c^{2}-b^{2} : a^{2}+b^{2}-c^{2}$$

(2)直角三角形の場合

直角三角形と言っても、3通りの可能性があります。それぞれで計算方法が異なるので、以下のように場合分けします。

(2−1)直角三角形の場合 (C=90°)

CH=0なので、BH:CH = a : 0となります。

(2−2)直角三角形の場合 (B=90°)

BH=0なので、BH:CH = 0 : aとなります。

(2−3)直角三角形の場合 (A=90°)

$$\mathrm{BH}:\mathrm{CH} = c\cos{\theta_{1}} : b\cos{\theta_{2}}$$

$$\cos{\theta_{1}} = \frac{c}{a}$$

$$\cos{\theta_{2}} = \frac{b}{a}$$

BH:CHはa, b, cを用いて次のように表せる。

$$\mathrm{BH}:\mathrm{CH} = c^{2} : b^{2}$$

(3)鈍角三角形の場合

直角三角形のときと同様に、3通りの場合わけが必要です。

(3−1)鈍角三角形の場合 (A>90°)

この場合は、(1)の鋭角三角形と同様の計算が可能で、比の値も同じです。

$$\mathrm{BH}:\mathrm{CH} = a^{2}+c^{2}-b^{2} : a^{2}+b^{2}-c^{2}$$

(3−2)鈍角三角形の場合 (C>90°)

C>90°のときは、質問者様の言う通り、垂線の足が三角形の外にできるため、次のように計算されます。

$$\mathrm{BH}:\mathrm{CH} = c\cos{\theta_{1}} : -b\cos{\theta_{2}}$$

$$\cos{\theta_{1}} = \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$$

$$\cos{\theta_{2}} = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$$

$$\mathrm{BH}:\mathrm{CH} = a^{2}+c^{2}-b^{2} : -(a^{2}+b^{2}-c^{2})$$

(3−3)鈍角三角形の場合 (B>90°)

この場合は、3-2と符号の関係が逆になります。

$$\mathrm{BH}:\mathrm{CH} = -(a^{2}+c^{2}-b^{2}) : a^{2}+b^{2}-c^{2}$$

こんな感じでしょうか。

中学数学での解法

(1)鋭角三角形の場合

点Aから辺BCに下ろした垂線の長さをhとします。△ABHに三平方の定理を用いて

$$h^{2}+BH^{2} = c^{2}$$

△AHCに三平方の定理を用いて

$$h^{2}+(a-BH)^{2} = b^{2}$$

この二つの式について、辺々引いてhを消去すると、

$$BH^{2}-(a-BH)^{2} = c^{2}-b^{2} \leftrightarrow -a^{2} +2aBH = c^{2}-b^{2}$$

よって、BHを求めることができます。

$$BH = \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a}$$

CHも同様に求めることができます。

$$CH=a-BH = a- \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a}$$

$$CH=a-BH = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2a}$$

以上から、BH:CHの比は前の回答と同じく

$$\mathrm{BH}:\mathrm{CH} = a^{2}+c^{2}-b^{2} : a^{2}+b^{2}-c^{2}$$

となります。

(2)直角三角形の場合

BH=0やCH=0となる場合は、前の回答と同じで良いと思うので、A=90°のときのみを考えます。

実は最後の答えまでは上と同じ計算でたどり着きます。

$$\mathrm{BH}:\mathrm{CH} = a^{2}+c^{2}-b^{2} : a^{2}+b^{2}-c^{2}$$

ここから、直角三角形における性質

$$b^{2}+c^{2} = a^{2}$$

を上式に代入します。BHに関しては、a^2-b^2 = c^2, CHに関してはa^2-c^2 = b^2とします。

$$\mathrm{BH}:\mathrm{CH} = 2c^{2} : 2b^{2} = c^{2} : b^{2}$$

です。

(3)鈍角三角形については、Aが鈍角である場合は(1)と同様です。BかCが鈍角である場合を考えます。ここでは、考え方が重複してしまうのでBが鈍角である場合のみを考えます。

△ABHに三平方の定理を用いると

$$BH^{2}+h^{2} = c^{2}$$

△ACHに三平方の定理を用いると

$$(a+BH)^{2}+h^{2}=b^{2}$$

これらを先ほどと同様にhを消してBH, CHを求めると

$$-a^{2}-2aBH = c^{2}-b^{2} \leftrightarrow BH = -\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a}$$

$$CH = a+BH = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2a}$$

となるので、結局BH:CHは以下のように、前の回答と同じものを得ます。

$$\mathrm{BH}:\mathrm{CH} = -(a^{2}+c^{2}-b^{2}) : a^{2}+b^{2}-c^{2}$$

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