円周率が3.05より大きいことを示すちょっとだけ目新しい方法を考えてみた

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自問

円周率が3.05より大きいことを証明せよ。

自答

言わずと知れた2003年の東京大学の入試問題です。図形的な大小関係を使わず解くことを考えてみました。

$$y=\frac{\sin{x}}{x}$$

を考えます。この関数の1階の導関数を計算します。

$$y’=\frac{x\cos{x}-\sin{x}}{x^{2}}=\frac{\cos{x}(x-\tan{x})}{x^{2}}$$

であるから、0≦x≦π/2を満たす実数xについて減少関数であることが分かります。さらに

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x}=1$$

であることからx=π/12について考えると

$$\frac{12\sin{\frac{\pi}{12}}}{\pi}<1$$

です。このとき、sin(π/12)を計算する必要がありますね。ここまでくると正多角形の近似と本質的に同じことをしている、ということに気付くでしょうか。

$$$\sin{\frac{\pi}{12}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$$

と計算できますので

$$\pi>3(\sqrt{6}-\sqrt{2})$$

であることがわかります。あとは\(\sqrt{6}\), \(\sqrt{2}\)に関する近似値

$$\sqrt{6}>2.44, \sqrt{2}<1.42$$

を用いれば、

$$\pi>3.06>3.05$$

を示すことができます。

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