夏休みの自由研究にうってつけ? 拡張版マルバツゲームの導入と5×5のマス目における、その初等的な考察

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以前、夏休みの自由研究の題材を考えた時に「拡張版マルバツゲーム」を提案しました。この問題を少し考えてみました。

自問

拡張版マルバツゲームとは何か。また、その必勝法は存在するか。

自答

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拡張版マルバツゲームとは

マルバツゲームといえば、3×3のマス目で◯か×を3連続で揃えた方の勝ち、というゲームです。このゲームには必勝法が存在しないことがわかっています。それで、このゲームを5×5, 7×7, 9×9というようにマス目を大きくしていったものを「拡張版マルバツゲーム」と呼ぶことにします。さらに、n×nのマス目においては、◯か×の記号をmだけ連続させた方が勝ちであるというルールにします。すなわち\(n\neq m\)以外の可能性も考えるということです。

例えば、\(n=3\)のとき、仮に\(m=2\)とすれば当然先手が必勝となります。5×5でも\(n=4\)とすれば先手が必勝なのでしょうか。また\(m=5\)ではやはり、先手・後手ともに必勝法は存在しないのでしょうか。この記事では特に5×5のマス目における考察を行っていきたいと思います。

5×5のマルバツゲーム

5×5のマルバツゲームにおける勝利条件は\(m=1, 2, 3, 4, 5\)の5つの候補があります。このうち、\(m=1, 2\)に関しては3×3の時と同様の並べ方で先手必勝であることがわかります。そこで\(m=3, 4, 5\)に関して先手に必勝法が存在するかどうかを考察します。先手・後手の手をわかりやすくするため、以下のような記法を導入します。例えば初手に先手が真ん中をとした場合は、3-三○のように書きます。

\(m=3\)を勝利条件とする場合

記号が3連続で揃った時に勝ちとする条件の場合

例えば上のように先手がバツのない所に◯を重ねただけで「詰めろ」をかけられます。

詰めろ
相手が何もしなければ、次に「詰み」となる手が存在する状況

ゆえに、この条件では先手必勝となります。

 

\(m=4\)を勝利条件とする場合

さて、この場合は少し考える組み合わせが多くなります。しかし、考える方針は決まっていて、先手に必勝法が存在するならば、「ダブルの詰めろ」をかけることができます。すなわち、二方向で詰めろがかかる状況を作れば良い、ということです。

中央がもっとも価値が高いので、先手は初手中央に限定します。すると後手の指す可能性は次の3通りです。

  1. 先手の○と隣合わない所に指す。
  2. 先手の○と横か縦に隣り合う所に指す。
  3. 先手の○と斜めに隣り合う所に指す。

順を追って考えていきます。

先手の○と隣合わない所に指す

後手が先手の○と隣合わない所に指した場合(4手目までの局面)

この状況では、次に先手に必殺の手があります。すなわち、ダブルの詰めろがかかる手があります。

ダブルの詰めろ(5手目までの局面)

上の図のように、赤いところ二箇所に○が入れば先手が詰めろをかけられるので、この状況をダブルの詰めろと呼びます。これを同時に防ぐ手が後手にはないため、先手の勝ちとなります。

後手が2手目に先手と縦・横に隣り合う所に指す

後手が2手目に中央の○と横に隣り合う所に指した局面

実は、この場合も先ほどと同じ形に帰着します。ゆえにダブルの詰めろがかかり、そこで先手の勝ちとなります。

ダブルの詰めろ

後手が2手目に先手の○と斜めに隣り合う所に指した場合

後手が2手目に中央の○と斜めに隣り合う所に指した局面

この局面から先手の有効手は、7通りあります。有効手とは先手の中央の○と重なる位置に配置する方法のことです。それぞれの手を調べていきます。

1-1. 3手目4-三○、4手目2-三×、5手目2-二○

この時は上図のように進行し、これ以上先手・後手にダブルの詰めろをかける手がないため、必勝法が存在しない。

1-2. 3手目4-三○、4手目2-三×、5手目3-二○

この場合も同様に、先手・後手にダブルの詰めろをかける手が存在しないので、必勝法は存在しない。

2. 3手目4-四○

この場合は、6手目まで上図のように一直線に進行。この配置では必勝法は存在しない。以下、3手目に3-四○、2-四○、2-三○、2-二○とした場合、以下の図のように一直線に進行するがいずれも必勝法は存在しない。

3. 3手目3-四○

4. 3手目2-四○

5. 3手目2-三○

6. 3手目2-二○

7. 3手目3-二○

3手目3-二○からの分岐1

3手目3-二◯からの分岐2

いずれの場合においても、やはり必勝法はありません。

まとめ

このように5×5のマス目では、4連続にしても必勝法はありませんでした。ゆえに、5連続での必勝法が存在しないことがわかります。そこで新たに次のような疑問が生まれます。

  1. 7×7ではどうか。
  2. より一般に(2n-1)×(2n-1)のマス目ではmをどのようにしたら必勝法は存在するのか。

もう解かれているかもしれませんが、この夏、この問題を数学的に解く、ということに挑戦してみたいと思っています。皆さんも数学の自由研究のテーマでこの題材を選んでみてはいかがでしょうか。その場合、その結果をぜひ教えていただきたいと思っています。

 

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