ある領域に質点の存在しない確率 〜東京大学の問題より

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こんにちは、眠る亀です。
今回も知恵袋からの質問に回答します。

質問

確率の問題です。東京大学の問題です。 十分に大きな面積Sの平面状に、面積当たりρ個の割合で質点がランダムに分布している。

1つの質点から、距離aの範囲に、質点が存在しない確率を求めよ。

の答えとして、
(S-a^2π)/S=(質点の存在しない確率)
である。1つの質点は、円内にあるので、他のρS− 1個の質点が円内に存在しない確率は
(S-πa^2/S)^(ρS-1)
となる。

と書いてます。1つも理解ができないので噛み砕いて説明していただけると嬉しいです。

なぜ1つの質点に対して、存在しない確率にSの確率が混じるのか。なぜなのでしょう。

なんとなくここでいう確率はρに関するものなのかと思っていましたが、違うのが興味深い問題です。よろしくお願いします。

回答

回答します。

この問題は、「一つの質点」というように限定していますので、それを質点Xとおきます。「どの質点も〜」だと話が変わりますが、今回は質点Xに注目です。

この問題を読むと、

「面積Sの平面に『すでに』すべての質点が散りばめられている」

ということを刷り込まされてしまいますが、まずはそれを取っ払います。すなわち、

「質点Xだけを先に平面Sにおき、あとで、他の質点をランダムに配置する」

と考えます。別にこれでも同じです。この方が考えやすいです。

  1. 質点Xから距離aだけ離れているところまでの領域は、πa^2 (領域A)
  2. それ以外の領域S-πa^2 (領域B)

であることを念頭に入れておきます。さて、並べるべき質点はあと全部で何個あるでしょうか。それを求めるために使うのがρです。単位あたりの個数がρですので、面積をかければ個数になります。ゆえに、ρSが、全体の質点の個数ですから並べるべき質点の個数は、ρS-1です。

これらを「ランダム」に並べるというのは、上で述べたAの領域に並べる確率もBの領域に並べる確率も「同様に確からしい」という意味です。

  1. 他の質点をAの領域に並べる確率はπa^2/S 
  2. 他の質点をBの領域に並べる確率は(S-πa^2)/S

さて、問題の条件は、質点X以外のρS-1個の質点を領域Bに並べる方法ですので、2の確率を(ρS-1)回だけ、かけてやればいいです。よって、(S-πa^2/S)^(ρS-1)が求める答えとなります。

こんな感じで問題を組み替えてやるとわかりやすくなると思います。どうでしょうか。

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