コンビニに来店する客の人数が従う確率分布を求める

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問題

あるコンビニの昼のT分間にN人の客が来店するという。その間、客の来店はランダムであるとして、ある1分間にn人の客が来店する確率P_{n}を求めよ。また、

$$T\gg 1, N\gg n$$

のときにはその確率がポワッソン分布で表されることを示せ。

回答

T分間にN人が来たことから、平均して

$$\lambda=\frac{N}{T}$$

人が来たと考えることができます。まずこのT分間の任意の1分間で客が来ることができる人数は0人からN人であり、0人である組み合わせ、1人である組み合わせ、k人である組み合わせ、を考慮した確率はそれぞれ

$$_{N}C_{0}×\left(\frac{1}{T}\right)^{0}$$

$$_{N}C_{1}×\left(\frac{1}{T}\right)^{1}$$

$$_{N}C_{k}×\left(\frac{1}{T}\right)^{k}$$

と表せます。ここで、1/Tのファクターは客の来店がランダムとして、目的の1分間にその客が
来る確率とみなすことができます。このことから求める確率Pは

$$P_{n}=\frac{_{N}C_{n}×\left(\frac{1}{T}\right)^{n}}{_{N}C_{0}×\left(\frac{1}{T}\right)^{0}+_{N}C_{1}×\left(\frac{1}{T}\right)^{1}+……+_{N}C_{N}×\left(\frac{1}{T}\right)^{N}}$$

$$P_{n}=\frac{_{N}C_{n}×\left(\frac{1}{T}\right)^{n}}{\left(1+\frac{1}{T}\right)^{N}}$$

と書くことができます。これが前半の回答となります。

次に、後半の回答に移ります。Tが1より十分大きいという条件から分母は自然対数eの定義に持ち込むことができますので、分母は以下のように変形できます。

$$\lim_{T\to \infty}{ \left(1+\frac{1}{T}\right)^{T}}^{\frac{N}{T}}=e^{\frac{N}{T}}=e^{\lambda}$$

Nがnよりも十分大きいという条件から分子は次のように計算できます。

$$_{N}C_{n}×\left(\frac{1}{T}\right)^{n}$$

$$=\frac{N!}{(N-n)! n!}×\left(\frac{1}{T}\right)^{n}$$

$$=\frac{N!}{(N-n)! N^{n}}×\frac{\left(\frac{N}{T}\right)^{n}}{n!}$$

$$=\frac{N!}{(N-n)! N^{n}}×\frac{(\lambda)^{n}}{n!}$$

$$\simeq\frac{\lambda^{n}}{n!}$$

よって、最終的にPは次の式で表せます。

$$P_{n}=\frac{\lambda^{n}e^{-\lambda}}{n!}$$

これはポワッソン分布に従う確率分布です。

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