2009年日本数学オリンピック本戦 整数問題を解く

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問題

8^n+nが2^n+nで割り切れる正の整数を全て求めよ。

感想

回答に入る前に、この問題の感想を述べると、個人的には本戦の問題にしては平易であると思います。解いてみるとわかりますが、変形を一発かませれば方針は自然と見えてきますし、その変形の発想は数字をみていれば自然と生じてくると思います。そういう意味では、東大や京大などの旧帝大の入試問題としても十分に使えるレベルの問題であると思います。もし、まだ解いていない方がいれば少し考えてみると良いかもしれません。

回答

$$8^{n}+n = (2^{n})^{3}+n^{3}-n^{3}+n = (2^{n}+n)(4^{n}-n\cdot2^{n}+n^{2})-n^{3}+n$$

題意を満たすn(n≧2)についての必要十分条件は、-n^{3}+nが2^{n}+nで割り切れることである。ここで、n≧10のとき以下の式が成り立つことを示す。

$$|-n^{3}+n|<2^{n}+n$$

(1)n=10のとき

左辺 = 990, 右辺 = 1124より成立

(2)n=k≧10とする。このときn=kについて

$$|-k^{3}+k|<2^{k}+k$$

が成り立つと仮定する。

$$|-(k+1)^{3}+(k+1)| = |-k^{3}+k-3k^{2}-3k|$$

$$ |-k^{3}+k-3k^{2}-3k|<|-k^{3}+k|+3k^{2}+3k<2^{k}+3k^{2}+4k$$

ここで、n=k+1とした時の示すべき不等式の右辺と上式の最右辺の差を考える。

$$2^{k+1}+k+1-(2^{k}+3k^{2}+4k) = 2^{k}-3k^{2}-3k+1$$

$$2^{k}-3k^{2}-3k+1 > k^{3}-2k-3k^{2}-3k+1> k^{3}-3k^{2}-5k-1$$

$$k^{3}-3k^{2}-5k-1 > 0 (k\geq 10)$$

ゆえにk≧10のとき

|-(k+1)^{3}+(k+1)| < 2^{k}+3k^{2}+4k < 2^{k+1}+k+1

が成り立つ。

(1)(2)より数学的帰納法により、n≧10を満たすすべての自然数nについて

$$|-n^{3}+n|<2^{n}+n$$

を示すことができた。この結果から、8^n+nが2^n+nで割り切れるためには、nが1~9のいずれかの自然数でなければならない。なぜなら、8^n+nが2^n+nが割り切れるためには当然

$$|-n^{3}+n| > 2^{n}+n$$

であることが必要だからである。ゆえに、あとはn=1からn=9までを代入すれば良い。

代入の結果、n = 1, 2, 4, 6が求めるものである。

議論の不備・誤りを発見されましたら、ご指摘よろしくお願いします。最後まで閲覧いただきまして、誠にありがとうございます。

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