高校物理の肝、等加速度直線運動を理解する。

今日は、等加速度直線運動をやろっか。これやらないと、運動方程式で求めた加速度の使い道がないからね。

等加速度直線運動はその言葉で2つ、運動を限定しているよね。名前からわかる通り、等加速直線運動は次のような運動だね。

まみ、加速度の式、覚えてる？

そうだね。速度も加速度もベクトル量だから、本当なら向きも速さも色々変化しちゃうよね。でも、直線運動って限定しちゃえば、向きはまっすぐか、その反対方向しかない。だから、加速度の向きは速度の方向に対して「＋」の向きかその反対の「−」の向きの二通りしかないね。こうやって、問題を簡単にしてるの。

そうそう。上の図のように、もし運動が直線じゃないと、\(V_{2}, V_{3}\)の向きを計算するのが難しいよね。でも、下の図のように直線だったら、右向きを正の方向して、\(V_{1} = 3, V_{2} = 1, V_{3} = -2\)のようにマイナスをつけてあげれば、向きも含めて計算できるようになるからね。

お、いいとこに気がつくじゃん。
直線運動なら、そうだね。ただし、どの方向をプラスにするか、というのはあらかじめ決めておかないとダメだよ。Vはプラスとマイナスの両方があるからね。

うん、そうだよ。じゃあ、加速度が等しいとどういう計算ができるかを説明するよ。まず、前回言ったように、何がわかれば物体の運動を予言できるようになるか、確認するね。

はじめに、1番。加速度と\(t_{1}\)秒後の速度を使って、任意の時刻での速度を求める、ってところをやってみよう。もう一度次の式を見てみて。
$$a = \frac{V(t)-V(t_{1})}{t-t_{1}}$$
これを見て、何か気づくことはないかな。数学で習ったことだと思うけど。

この式が立てられると、求めたい\(V(t_{1})\)は次のように計算できるね。
$$V(t)-V(t_{1}) = a(t-t_{1})$$
$$V(t) = a(t-t_{1}) + V(t_{1})$$
\(t_{1} = 0\)、つまり、0秒後の速度や位置を最初の速度や位置とすると
$$V(t) = at + V(0)$$
となって、これで、任意の時刻での速度が求められるね。

グラフも書いてみよっか。傾きが正の場合を考えるね。

物理では、よく「V-tグラフ」なんて、言ったりするよ。V-tグラフを見たら、その傾きを調べて、加速度が出せるよ。例えば、こんな感じのグラフ。まみ、\(X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}\)での加速度、求めてみてよ。

またまた鋭いことを。曲線部分の加速度は、その点における曲線の接線の傾きが加速度に対応するよ。

この図で、赤い線が\(X_{1}\)を通る曲線の接線なんだけど、この線の傾きが\(X_{1}\)の加速度になるよ。だから、\(t_{3}, t_{2}, V_{2}\)がわかれば加速度がわかるね。

そうなんだよね。でもその話は、ちょっと長くなるから、また次にしよう。え〜と、それで、話をどこに戻せばいいんだっけ？

あ、そうだそうだ。次は「運動の予言」の2番、任意の時刻での速度と\(t_{1}\)秒後の位置を使って、任意の時刻(\(t\))での位置を求める、ってところだね。これも実はV-tグラフを使って計算できるんだ。

上の図で、\(X_{1}\)の地点での時間と速度が\((0, V_{0})\)で、\(X_{2}\)の地点での時間と速度が\((t, V_{1})\)とするよ。このとき、\(X_{1}\to X_{2}\)までの距離は、青色の台形の面積と同じなんだ。なんでかわかる？

うん。\(V_{0}\)と\(V_{1}\)の平均をとったものを高さにした長方形だよ。

そういうこと。

そう。等加速度直線運動って、高校物理の最初で習うんだけど、高校数学の中盤くらいで習う微分・積分が背景に隠れてるんだよ。今度、ゆっくり説明するから。

そうだね。物体が最初にいた位置を\(x_{0}\)とすると、任意の時刻での位置\(x(t)\)は
$$x(t) = x_{0} + \frac{(V_{1}+V_{0})t}{2}$$
だけど、\(V_{1} = at+V_{0}\)だから、これを代入すると、
$$x(t) = x_{0} + \frac{1}{2}at^{2}+V_{0}t$$
と求められるね。

これで、どうだ！

違いをわかりやすくするために、2次元での運動を考えたよ。位置・変位・距離っていうのは、全くの別物だってことがわかると思う。言葉でもまとめたよ。

うん。そういうつもりだった。距離が結構あるのに、変位が0というのは少し変な感じがするかな？　でも、ちゃんと位置・変位・距離の違いがわかっていれば、大丈夫だよね。ここで、問題。
$$x(t) = x_{0} + \frac{1}{2}at^{2}+V_{0}t$$
と書いた時の\(x(t)\)は位置、変位、距離のどれでしょう？

じゃあ、こうしたら？
$$X = x(t) – x_{0} = \frac{1}{2}at^{2}+V_{0}t$$
この\(X\)は何？

正解、正解。確かにそれは1次元での変位だね。じゃあ、また、まみにやってもらお。この\(X\)の式で、\(t\)を使わない式を書いてみてよ。
$$V_{1} = at + V_{0}$$
を使ってね。

時間がわからない時は、この式も使うことになるから、結構便利だよ。じゃあ、今まで出てきたものをまとめよっか。

入試問題になると、この式だけじゃなくて、V-tグラフやx-tグラフを応用することが多いから、グラフを利用することに慣れておいたほうがいいよ。